ご依頼日当日から出社する必要はありません。就業規則で〇カ月前に報告すると規定している会社は多いですが、それはルール的なもので会社の希望です。
月給制の正社員の場合、退職申し入れた日から２週間経過することによって雇用契約が終了します。
即日退職ができるのは、会社が即日退職に合意してくれた場合に限りますが、その２週間について有休休暇をとることで、退職を申入れ、翌日より出社しないことができます。
民法では無期雇用の方であれば、2週間前までに退職の旨を伝える必要があると書かれていますが、会社が認めればその日でも退職は可能です。（もしくは２週間欠勤して退職という扱いになるだけで、どちらにせよ即日から出社する必要はありませんので、ご安心ください。）

辞められます。
慢性的に人員不足が続くと、「いつまでも仕事が終わらなくて疲れた」「何のために仕事をしているのか分らない」と心身共にストレスが増加したり、仕事にやりがいを感じられなくなってしまいます。
責任を感じ、退職をためらい、自分の気持ちを後回しにしてしまうことも多いかもしれません。
しかし、人員不足は経営側の責任であり、退職者の責任ではありません。「退職したい」と考えたとき、気持ちを我慢してまで背負う必要はありません。
自分のことを最優先に考え、先延ばしにせずに退職代行を利用して辞めることをおすすめします。安心してご依頼くださいませ。

辞めることに対して訴えても会社側は費用が掛かりメリットもないため、退職のみを理由として訴えられることは無いです。
誰にでも仕事を選び、転職する権利があります。